Pengertian Induksi Matematika
Induksi matematika adalah cara atau teknik pembuktian secara deduktif dalam matematika.
Pembuktian yang dimaksud adalah pembuktian pernyataan-pernyataan yang berkaitan dengan bilangan bulat positif (non negative).
Langkah-langkah Induksi Matematika
Andaikan p(n) adalah sebuah pernyataan dengan variabel bebas n dan n adalah bilangan bulat positif, maka untuk membuktikan bahwa p(n) benar kita perlu melalui 3 langkah sebagai berikut:
- Tunjukkan bahwa p(1) benar
- Misalkanlah p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif dengan n ≥ 1
- Tunjukkan bahwa p(n+1) benar
Agar lebih dapat memahami materi ini, perhatikan contoh soal di bawah ini.
Baca juga Bangun Datar.
Contoh Soal Induksi Matematika
1. Tunjukkan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = 
- Akan ditunjukkan bahwa p(1) benar
Jika n = 1, maka:
1 = 
= 1 (benar)
- Misal p(n) benar untuk n ≥ 1, maka:
1 + 2 + 3 + … + n = benar
- Akan dibuktikan bahwa p(n+1) benar, yaitu:
1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) = 
Bukti:
1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) = + (n+1)
1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) = 
1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) = (terbukti)
Jadi, terbukti bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = untuk n ≥ 1.
2. Tunjukkan bahwa jumlah dari n bilangan bulat ganjil positif pertama adalah n2
Bentuk persamaan : 1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n2
- Akan ditunjukkan bahwa p(1) benar
Jika n = 1, maka:
1 = n2 = 12 = 1
- Misalkan p(n) benar untuk n ≥ 1, maka:
1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n2 benar
- Akan di buktikan bahwa p(n+1) benar, yaitu:
1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)2
Bukti:
1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n2 + (2(n+1)–1)
1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n2 + 2n + 2 – 1
1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n2 + 2n + 1
1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)(n+1)
1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)2 (terbukti)
Jadi, terbukti bahwa 1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n2 untuk n bilangan bulat positif.
Untuk latihan soal lebih lengkap, silakan baca: Contoh Soal Induksi Matematika
Setelah memahami contoh soal beserta pembuktiannya, diharapkan materi induksi matematika dapat semakin dipahami sehingga mampu menyelesaikan soal dalam berbagai bentuk.
Agar lebih memperdalam pemahaman terkait materi induksi matematika, dapat dicari contoh soal di internet atau buku-buku soal matematika.
Selama berpegang pada langkah-langkah yang ditentukan dalam menyelesaian soal induksi matematika, maka proses pembuktian akan dapat dilalui dengan baik. Baca juga Aljabar.