Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah susunan bilangan dengan pola tertentu yang selisihnya bersifat tetap.
Dengan kata lain, selisih dari dua suku yang berurutan selalu sama atau tetap. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:
U1, U2, U3, …, Un-1, Un; b = U2 – U1 = U3 – U2 = … = Un – Un-1
Dimana suku pertama adalah U1 = a, b = beda/selisih tiap suku dengan besar yang sama, dan Un = suku ke-n.
Misal terdapat barisan aritmatika dengan suku pertama (a) sama dengan 3 dan beda (b) sama dengan 4, maka barisan aritmatika yang terbentuk seperti di bawah ini:
3, 7, 11, 15, …, Un
dan ciri khas dari sebuah barisan adalah menggunakan tanda koma (,) sebagai penyambung dengan suku selanjutnya.
Rumus barisan aritmatika
Pada bagian ini kita akan belajar tentang rumus dari barisan aritmatika, yaitu mencari suku ke-n dengan bentuk sebagai berikut:
Un = a + (n – 1)b atau Un = Un-1 + b
Dengan
- Un = suku ke-n
- a = U1
- Un-1 = suku sebelum suku ke-n
- b = beda
Selain mencari rumus suku ke-n, terdapat pula rumus mencari nilai tengah dari sebuah barisan aritmatika seperti di bawah ini:
Ut = ½ (a + Un)
Ut = suku tengah
Contoh soal Barisan Aritmatika
Diketahui sebuah barisan aritmatika dengan suku ketiga sama dengan 13 dan suku kelima sama dengan 25. Carilah beda dan suku ke-10 dari barisan tersebut! Kemudian jika suku terakhir adalah suku ke-m dengan m = 50, carilah suku tengahnya?
Diketahui sebuah barisan aritmatika dengan suku ketiga sama dengan 13 dan suku kelima sama dengan 25. Carilah beda dan suku ke-10 dari barisan tersebut! Kemudian jika suku terakhir adalah suku ke-m dengan m = 50, carilah suku tengahnya?
b dan Un = …?
U5 – U4 = U4 – U3
25 – U4 = U4 – 13
U4 = 19
Karena b = Un – Un-1, maka b = U5 – U4 = U4 – U3 = 6
Sehingga didapatkan a = 1.
Un = a + (n – 1)b
U10 = 1 + (9)(6)
U10 = 55
(cara lain: mencari suku ke-9 terlebih dahulu kemudian ditambah dengan b, atau dengan menambahkan suku kelima dengan b sebanyak 5 kali)
Ut = …?
Um = a + (m – 1)b
U50 = 1 + (49)(6)
U50 = 295
Sehingga diperoleh
Ut = 1/2(a + Um)
Ut = 1/2(1 + 295)
Ut = 296/2
Ut = 198
Deret Aritmatika
Setelah kita memahami barisan aritmatika, sekarang kita akan membahas tentang deret aritmatika yang merupakan penjumlahan dari sebuah barisan aritmatika.
Bentuk dari deret aritmatika adalah seperti di bawah ini:
U1 + U2 + U3 + … Un-1 + Un
Dengan U1, U2, U3, …, Un-1, Un merupakan barisan aritmatika. Ciri khas dari bentuk deret aritmatika adalah menggunakan tanda tambah (+) di antara dua suku berurutan. Baca juga Matriks.
Rumus deret aritmatika
Dalam penyusunannya, rumus deret aritmatika memiliki komponen yang sama dengan barisan aritmatika.
Pembedanya adalah rumus barisan aritmatika digunakan untuk mencari sebuah suku yang diinginkan, sedangkan deret aritmatika merupakan penjumlahan dari suku-suku tersebut.
Berikut rumus dari deret aritmatika:
Sn = n/2 (a + Un) = n/2(2a + (n – 1)b)
dengan Sn = jumlah n suku pertama
Dari rumus ini, kita juga dapat mencari suku ke-n dengan cara sebagai berikut:
Un = Sn – Sn-1
Agar semakin memahami materi deret aritmatika, perhatikan contoh soal dan penyelesaiannya di bawah ini. Baca juga Himpunan.
Contoh Soal Deret Aritmatika
1. Suatu deret aritmatika memiliki rumus Sn = 3/2 n2 + ½n. Tentukan nilai suku ke-5 dalam deret aritmatika tersebut
Dalam menyelesaikan soal deret aritmatika, kita harus memahami 2 konsep utama dalam deret aritmatika yaitu Sn dan Un.
Sn menyatakan jumlah n suku pertama suatu deret matematika, sedangkan Un menyatakan nilai suatu suku ke-n dalam deret aritmatika yang sedang dikerjakan.
Jika melihat pada soal tersebut, kita mengetahui bahwa jumlah n suatu suku pertama deret aritmatika dinyatakan dalam Sn = 3/2 n2 + ½n.
Namun, kita tidak mengetahui rumus nilai suatu suku ke-n. Dalam deret aritmatika, kita dapat melakukan pengurangan jumlah n suatu suku pertama dengan jumlah n-1 suatu suku pertama untuk mendapatkan nilai Un tertentu.
Dalam soal, kita diminta untuk mencari suku ke-5 atau n=5. Sehingga kita dapat menuliskannya dalam bentuk U5. Kita dapat mengurangi S5 dan S4 untuk mendapatkan U5.
Sn = 3/2 n2 + ½n
S5 = 3/2 (5)2 + ½(5) = 40
S4 = 3/2 (4)2 + ½4) = 11,5
U5 = S5 – S4 = 40 – 11,5 = 28,5
2. Diketahui sebuah deret artimatika memiliki nilai U1, U7, U13 masing-masing adalah 20, 68, dan 116. Tentukan nilai S9 dari deret aritmatika tersebut.
Dalam mengerjakan soal tersebut, pertama kita dapat menentukan nilai a dan b dalam rumus deret aritmatika.
Untuk menentukan nilai a, kita dapat menggunakan rumus Un. Sedangkan nilai b, kita dapat menggunakan nilai U7 atau U13.
Selanjutnya, kita dapat langsung mengerjakan nilai dari S9.
Un = a+(n-1)b
U1
U1 = a
20 = a
U7 = a + (7-1)b
U7 = 20 + 6b
68 = 20 + 6b
68 – 20 = 6b
b = 8
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S9 = 9/2 (2.20 + (9-1)8)
S9 = 9/2 (40 + 64)
S9 = 9/2 (104)
S9 = 468
3. Diberikan sebuah deret aritmatika di mana suku ke-9 sama dengan dua kali suku ke-4. Jika suku pertama deret tersebut adalah 6. Tentukan nilai jumlah 6 suku pertama deret artimatika
Diketahui di dalam soal suku ke-9 sama dengan dua kali suku ke-4, sehingga kita dapat menuliskan persamaan U9 = 2.U4.
Selain itu, dijelaskan bahwa U1 = 6. Dalam soal sebelumnya, jika U1 = a. Maka, kita dapat menyelesaikan deret aritmatika seperti di bawah ini.
Un = a+(n-1)b
U9 = 2.U4
6+(9-1)b = 2.( 6+(4-1)b)
6+8b = 2.(6+3b)
6+8b = 12+6b
8b – 6b = 12 – 6
b = 3
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S6 = 6/2 (2.6 + (6-1)3)
S6 = 6/2 (12 + 15)
S6 = 3 x 27 = 81
4. Tentukan jumlah pada deret berikut ini jika 18+(a+2)+(a+4)+(a+6)+………+50 =
Dalam soal, diketahui nilai U1 = 18 dan memiliki b = 2. Untuk mengerjakan soal tersebut, kita harus mengetahui jumlah banyak deret tersebut.
Dalam menentukan banyaknya deret, dapat menggunakan nilai deret terakhir.
Un = a + (n-1)b
50 = 18 + (n-1)2
32 = 2n – 2
34 = 2n
n = 17
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S17 = 17/2 (2.18 + (17-1)2)
S17 = 17/2 (36 + 32)
S17 = 17/2 (68)
S17 = 578
5. Diketahui sebuah bentuk matematika seperti berikut
3√2197 < x < √1849
Jika b=2, tentukan jumlah semua nilai x
Untuk menyelesaikan deret aritmatika di atas, maka kita harus mengetahui nilai batas bawah 3√2197 dan batas atas √1849.
Setelah itu, kita dapat menentukan banyak deret tersebut dan mencari nilai Sn.
3√2197 = 13
√1849 = 43
13 < x < 43
Dari bentuk di atas, dapat kita ketahui bahwa nilai a = 13.
Un = a + (n-1)b
43 = 13 + (n-1)2
30 = 2n – 2
32 = 2n
n = 16
Terdapat 16 suku dalam deret aritmatika tersebut. Sedangkan dalam soal, jumlah yang dicari adalah nilai x tidak termasuk batas bawah dan batas atas.
Maka, kita dapat mencari nilai Sn kemudian dikurangi dengan U1 dan U16 sehingga terbentuk jumlah x.
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S16 = 16/2 (2.13 + (16-1)2)
S16 = 16/2 (26 + 30)
S16 = 16/2 (56)
S16 = 448
Sx = S16 – U1 – U16
Sx = 448 – 13 – 43 = 392
6. Diketahui sebuah barisan berjumlah 60 memiliki suku pertama 5 dengan beda tiap sukunya yaitu 7. Berpakah jumlah 60 suku pertama pada barisan tersebut?
Diketahui: n = 60, a = 5, b = 7
Cara 1
Un = a + (n – 1)b
U60 = 5 + (59)(7)
U60 = 418
Sehingga
S60 = 60/2 (5 + 418)
S60 = 12.690
Cara 2
S60 = 60/2 ((2)(5) + (60 – 1)(7))
S60 = 30(10 + 413)
S60 = 12.690