Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah susunan bilangan dengan pola tertentu yang selisihnya bersifat tetap.

Dengan kata lain, selisih dari dua suku yang berurutan selalu sama atau tetap. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:

U1, U2, U3, …, Un-1, Un; b = U2 – U1 = U3 – U2 = … = Un – Un-1

Dimana suku pertama adalah U1 = a, b = beda/selisih tiap suku dengan besar yang sama, dan Un = suku ke-n.

Misal terdapat barisan aritmatika dengan suku pertama (a) sama dengan 3 dan beda (b) sama dengan 4, maka barisan aritmatika yang terbentuk seperti di bawah ini:

3, 7, 11, 15, …, Un

dan ciri khas dari sebuah barisan adalah menggunakan tanda koma (,) sebagai penyambung dengan suku selanjutnya.

Rumus barisan aritmatika

Pada bagian ini kita akan belajar tentang rumus dari barisan aritmatika, yaitu mencari suku ke-n dengan bentuk sebagai berikut:

Un = a + (n – 1)b atau Un = Un-1 + b

Dengan

  • Un = suku ke-n
  • a = U1
  • Un-1 = suku sebelum suku ke-n
  • b = beda

Selain mencari rumus suku ke-n, terdapat pula rumus mencari nilai tengah dari sebuah barisan aritmatika seperti di bawah ini:

Ut = ½ (a + Un)

Ut = suku tengah

Contoh soal Barisan Aritmatika

Diketahui sebuah barisan aritmatika dengan suku ketiga sama dengan 13 dan suku kelima sama dengan 25. Carilah beda dan suku ke-10 dari barisan tersebut! Kemudian jika suku terakhir adalah suku ke-m dengan m = 50, carilah suku tengahnya?

Pembahasan

b dan Un = …?

U5 – U4 = U4 – U3

25 – U4 = U4 – 13

U4 = 19

Karena b = Un – Un-1, maka b = U5 – U4 = U4 – U3 = 6

Sehingga didapatkan a = 1.

Un = a + (n – 1)b

U10 = 1 + (9)(6)

U10 = 55

(cara lain: mencari suku ke-9 terlebih dahulu kemudian ditambah dengan b, atau dengan menambahkan suku kelima dengan b sebanyak 5 kali)

Ut = …?

Um = a + (m – 1)b

U50 = 1 + (49)(6)

U50 = 295

Sehingga diperoleh

Ut = 1/2(a + Um)

Ut = 1/2(1 + 295)

Ut = 296/2

Ut = 198

Deret Aritmatika

Setelah kita memahami barisan aritmatika, sekarang kita akan membahas tentang deret aritmatika yang merupakan penjumlahan dari sebuah barisan aritmatika.

Bentuk dari deret aritmatika adalah seperti di bawah ini:

U1 + U2 + U3 + … Un-1 + Un

Dengan U1, U2, U3, …, Un-1, Un merupakan barisan aritmatika. Ciri khas dari bentuk deret aritmatika adalah menggunakan tanda tambah (+) di antara dua suku berurutan. Baca juga Matriks.

Rumus deret aritmatika

Dalam penyusunannya, rumus deret aritmatika memiliki komponen yang sama dengan barisan aritmatika.

Pembedanya adalah rumus barisan aritmatika digunakan untuk mencari sebuah suku yang diinginkan, sedangkan deret aritmatika merupakan penjumlahan dari suku-suku tersebut.

Berikut rumus dari deret aritmatika:

Sn = n/2 (a + Un) = n/2(2a + (n – 1)b)

dengan Sn = jumlah n suku pertama

Dari rumus ini, kita juga dapat mencari suku ke-n dengan cara sebagai berikut:

Un = Sn – Sn-1

Agar semakin memahami materi deret aritmatika, perhatikan contoh soal dan penyelesaiannya di bawah ini. Baca juga Himpunan.

Contoh Soal Deret Aritmatika

Diketahui sebuah barisan berjumlah 60 memiliki suku pertama 5 dengan beda tiap sukunya yaitu 7. Berpakah jumlah 60 suku pertama pada barisan tersebut?

Pembahasan

Diketahui: n = 60, a = 5, b = 7

Cara 1

Un = a + (n – 1)b

U60 = 5 + (59)(7)

U60 = 418

Sehingga

S60 = 60/2 (5 + 418)

S60 = 12.690

Cara 2

S60 = 60/2 ((2)(5) + (60 – 1)(7))

S60 = 30(10 + 413)

S60 = 12.690

Leave a Comment