Contoh Soal Integral Tentu, Tak tentu, Parsial & Pembahasannya

Dalam soal ini, batas atas adalah 1 dan batas bawah -2. Tahap pertama yang perlu kita lakukan adalah melakukan integral fungsi  3x² + 5x + 2 menjadi seperti di bawah ini.

Setelah kita mendapatkan bentuk integral dari fungsi tersebut, kita dapat memasukkan nilai batas atas dan bawah ke dalam fungsi tersebut lalu mengurangkannya menjadi seperti berikut.

Hasil dari integral tersebut adalah 27,5.

Untuk mengerjakan soal ini, kita dapat mencontoh cara pada soal sebelumnya yaitu melakukan integral fungsi terlebih dahulu kemudian mencari nilai p berdasarkan hasil 78 seperti berikut ini.

Setelah kita mendapatkan fungsi integral, kita dapat memasukkan batas atas dan bawah ke dalam fungsi tersebut.

Setelah memasuki fungsi pertidaksamaan tersebut, kita dapat menggunakan sifat pertidaksamaan untuk menyelesaikan soal tersebut sehingga didapatkan nilai P adalah 4. Maka untuk nilai -2p, kita dapat memasukkan nilai 4, maka hasil -2p= -8.

Dalam mengerjakan soal ini, kita harus memperhatikan fungsi secara seksama. Dalam soal tersebut fungsi berbentuk f’(x) yang menandakan bahwa fungsi tersebut merupakan suatu turunan dari fungsi tertentu. Untuk mengerjakan soal tersebut, kita dapat menggunakan sifat dasar integral tak tentu seperti di bawah.

Sehingga nilai integral dari fungsi tersebut adalah x³+C

Untuk mengerjakan soal ini, kita dapat menggunakan sifat seperti soal pertama. Dalam soal ini, g’(x) merupakan turunan dari suatu fungsi. Berikut ini cara penyelesaiannya

Nilai integral dari g’(x) adalah g(x) =  (1/2)x⁶ + 3x + C

Integral tentu merupakan hasil jumlahan suatu daerah yang dibatasi kurva dari suatu persamaan tertentu.

Bedanya dengan integral tak tentu, integral tentu sudah mempunyai nilai pasti karena batas yang ditentukan sudah jelas.

Untuk lebih lengkapnya, silakan baca di Integral Tentu.

Jadi, hasil dari ʃ²₁ 6x² dx adalah 14.

Jadi,  hasil integral tentu dari ʃ^-1_-4 7 dx adalah 21.

Jadi, nilai integral tentu dari ʃ^-2_-2 3x² – 2x + 1 dx adalah 20.

Jadi, nilai integral tentu dari ʃ⁹₄ 1/√x dx adalah 2.

Jadi, hasil integral tentu dari ʃ^π/3_π/6 cos x dx adalah ½ √3 – ½.

Jadi, hasil integral tentu dari ʃ^π/2₀ cos x + sin xdx adalah 2.

Jadi nilai dari 7p adalah 14.

Integral tak tentu adalah kebalikan dari turunan, atau lebih sering dikenal dengan sebutan anti turunan atau antiderivative.

Hasil dari Integral tak tentu suatu fungsi merupakan suatu fungsi baru yang belum memiliki nilai yang tentu atau pasti karena masih ada variabel dalam fungsi baru tersebut. Untuk lebih lengkapnya, silakan baca di Integral Tak Tentu.

Jadi, hasil dari ʃ 3x² dx adalah x³ + C.

Jadi hasil dari ʃ 8x³ – 6x² + 4x – 2 dx adalah 2x⁴ – 2x³ + 2x² – 2x + C.

ʃ sin x dx = – cos x + C

ʃ cos x dx = sin x + C

Maka:

ʃ 4 sin x + 7 cos x dx = – 4cos x + 7sin x + C

Jadi, nilai dari nilai dari ʃ 4 sin x + 7 cos x dx adalah – 4cos x + 7sin x + C.

(3x-2)(x+6) = 3x² + 18x – 2x -12 = 3x² + 16x -12

Jadi, hasil dari ʃ (3x-2)(x+6) dx adalah x³ + 8x² – 12x + C.

ʃ dx/(3x²) =  ʃ ⅓ x^–2  dx

Jadi, nilai dari ʃ dx/(3x²) adalah ^{– 1}/_(3x) + C.

Ingat!

ʃ sin x dx = – cos x + C

ʃ cos x dx = sin x + C

Maka:

ʃ -5 sin x + 3 cos x – 4 dx = (-5) ( -cos x) + 3 (sin x) – 4 + C

ʃ -5 sin x + 3 cos x – 4 dx = 5 cos x + 3 sin x – 4 + C

Jadi, nilai dari ʃ -5 sin x + 3 cos x – 4 dx adalah 5 cos x + 3 sin x – 4 + C.

Jadi nilai dari ʃ (4x+3)⁷ dx adalah ¹/₃₂  (4x+3)⁸ + C

Pada umumnya, Integral parsial digunakan untuk menyelesaikan persoalan integral dari perkalian dua fungsi. Biasanya, rumus integral parsial digunakan jika rumus integral dasar tidak bisa digunakan untuk menyelesaikan persoalan integral.

Untuk lebih lengkapnya, silakan baca di Integral Parsial.

Misal

u = 2x+1

dv = cos (x + π) dx

Maka

du = 2 dx

v = ʃ cos (x + π) dx = sin (x + π)

Sehingga

∫ u dv = uv − ∫v du

∫ u dv = (2x+1) . sin (x +π) − ∫ sin (x + π) . 2 dx 

∫ u dv = (2x+1) . sin (x +π) − 2 (− cos (x + π)) + C

∫ u dv = (2x+1) . sin (x +π) + 2 cos (x + π) + C

Jadi, hasil dari ʃ (2x+1) cos (x + π) dx adalah (2x+1) . sin (x +π) + 2 cos (x + π) + C.

Misal

u = 3x + 2

dv = sin (3x + 2) dx

Maka

du = 3 dx

v = ʃ sin (3x + 2) dx = − ⅓ cos (3x + 2)

Sehingga

∫ u dv = uv − ∫v du

∫ u dv = (3x + 2) . (− ⅓ cos (3x + 2)) − ∫ (− ⅓ cos (3x + 2)) . 3 dx

∫ u dv = − (x+²/₃) . cos (3x + 2) + ⅓ . ⅓ sin (3x + 2) + C

∫ u dv = − (x+²/₃) . cos (3x + 2) + ¹/₉ sin (3x + 2) + C

Jadi, hasil dari ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx adalah − (x+²/₃) . cos (3x + 2) + ¹/₉ sin (3x + 2) + C.

Misal

u = x

dv = sin x dx

Maka

du = 1 dx

v = ʃ sin x dx = − cos x

Sehingga

∫ u dv = uv − ∫v du

∫ u dv = x . ( − cos x) − ∫(− cos x) dx

∫ u dv = − x cos x + sin x + C

Jadi, hasil dari ∫ x sin x dx adalah − x cos x + sin x + C.

Misal

u = x

dv = (x + 5)⁴ dx

Maka

du = 1 dx

v = ʃ (x + 5)⁴ dx = ¹/₅ (x + 5)⁵ dx

Sehingga

∫ u dv = uv − ∫v du

∫ u dv = x . ( ¹/₅ (x + 5)⁵) − ∫(¹/₅ (x + 5)⁵) dx

∫ u dv = ^x/₅ (x + 5)⁵ − ¹/₃₀ (x + 5)⁶ + C (sampai sini sudah selesai, namun masih bisa disederhanakan)

Penyederhanaan

∫ u dv = ^x/₅ (x + 5)⁵ − ¹/₃₀ (x + 5)⁶ + C

∫ u dv = ^x/₅ (x + 5)⁵ − ¹/₃₀ (x + 5)(x + 5)⁵ + C

∫ u dv = (^x/₅ − ¹/₃₀ (x + 5))(x + 5)⁵ + C

∫ u dv = (^6x/₃₀ − ^x/₃₀ + ⁵/₃₀))(x + 5)⁵ + C

∫ u dv = (^5x/₃₀ + ⁵/₃₀))(x + 5)⁵ + C

∫ u dv = ⁵/₃₀(x + 1)(x + 5)⁵ + C

∫ u dv = ¹/₆(x + 1)(x + 5)⁵ + C

Jadi, hasil dari ∫ x(x + 5)⁴ dx adalah ¹/₆(x + 1)(x + 5)⁵ + C

Misal

u = x² + 1

dv = sin x dx

Maka

du = 2x dx

v = ʃ sin x dx = – cos x

Diperoleh

∫ u dv = uv − ∫v du

∫ u dv = (x² + 1)(- cos x) – ʃ (- cos x) 2x dx

∫ u dv = – (x² + 1) cos x + ʃ 2x cos x dx … (1)

Karena ʃ 2x cos x dx tidak bisa langsung diintegralkan, maka kita harus mengulangi proses integral parsial untuk menemukan hasil ʃ 2x cos x dx terlebih dahulu.

Agar tidak sama dengan permisalan sebelumnya, kita gunakan variabel lain

Misal

a = 2x

db = cos x dx

Maka

da = 2 dx

b = ʃ cos x dx = sin x

Diperoleh

∫ a db = ab − ∫b da

∫ a db = 2x sin x − ∫ sin x . 2 dx

∫ a db = 2x sin x − 2 (-cos x)

∫ a db = 2x sin x + 2 cos x + C

ʃ 2x cos x dx = 2x sin x + 2 cos x

Selanjutnya, substitusikan hasil ʃ 2x cos x dx ke (1), sehingga diperoleh

∫ u dv = – (x² + 1) cos x + ʃ 2x cos x dx

∫ u dv = – (x² + 1) cos x +2x sin x + 2 cos x + C

∫ u dv = – x² cos x – cos x +2x sin x + 2 cos x + C

∫ u dv = – x² cos x + cos x +2x sin x + C

∫ u dv = (1 – x²) cos x +2x sin x + C

Jadi, hasil dari ∫ (x² + 1) sin x dx adalah (1 – x²) cos x +2x sin x + C.