Integral: Pengertian, Macamnya, Rumus Lengkap

Artikel kali ini akan membahas mengenai integral.

Sebelum mempelajari materi integral, sebaiknya kalian memahami terlebih dahulu materi diferensial atau turunan.

Sudahkah kalian belajar mengenai diferensial atau turunan?

Materi turunan (diferensial) akan digunakan dalam penyelesaian integral. Untuk memahami apa itu integral, pelajari materi di bawah ini.

Definisi Integral

Integral secara sederhana dapat disebut sebagai invers (kebalikan) dari operasi turunan. Integral dibedakan menjadi dua yaitu integral tak tentu dan integral tentu.

Integral tak tentu merujuk pada definisi integral sebagai invers (kebalikan) dari turunan, sedangkan integral tentu didefinisikan sebagai jumlahan suatu daerah yang dibatasi kurva atau persamaan tertentu.

Pada bagian di bawah akan dijelaskan contoh penerapan integral.

Contoh Penerapan Integral

Integral dimanfaatkan dalam berbagai bidang. Pada bidang matematika dan teknik, integral digunakan untuk menghitung volume benda putar dan luasan pada kurva.

Pada bidang fisika, pemanfaatan integral digunakan untuk menghitung dan menganalisis rangkaian arus listrik, medan magnet, dan lainnya.

Dalam bidang ekonomi, integral digunakan untuk menentukan persamaan dan fungsi yang berkaitan dengan ekonomi, konsumsi, marginal, dan sebagainya.  

Berikut akan dijelaskan mengenai rumus integral dasar/sederhana.

Rumus Integral

Misalkan terdapat suatu fungsi sederhana axn. Integral dari fungsi tersebut adalah

Rumus Integral
Rumus Integral

Keterangan:

  • k  : koefisien
  • x   : variabel
  • n   : pangkat/derajat dari variabel
  • C   : konstanta

Misalkan terdapat suatu fungsi f(x). Jika kita akan menentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik f(x) maka dapat ditentukan dengan

Sifat Sifat Integral 1

dengan a dan b merupakan gari vertikal atau batas luasan daerah yang dihitung dari sumbu-x. Misalkan integra dari f(x) disimbolkan dengan F(x) atau jika dituliskan

Sifat Sifat Integral 2

maka

Sifat Sifat Integral 3

Keterangan:

  • a, b  : batas atas dan batas bawah integral
  • f(x)  : persamaan kurva
  • F(x)  : luasan di bawah kurva f(x)

Sifat Integral

Beberapa sifat integral yaitu sebagai berikut.

Sifat Integral

Baca Juga Contoh Soal Integral

Integral Tak Tentu

Seperti yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, integral tak tentu merupakan suatu kebalikan dari turunan. Kalian dapat menyebutnya sebagai anti turunan atau antiderivative.

Integral tak tentu dari suatu fungsi menghasilkan fungsi baru yang belum memiliki nilai yang tentu karena masih terdapat variabel dalam fungsi baru tersebut. Bentuk umum integral tentu Integral.

Rumus Integral Tak Tentu
Integral Tak Tentu

Keterangan:

  • f(x)  : persamaan kurva
  • F(x)  : luasan di bawah kurva f(x)
  • C     : konstanta

Contoh integral tak tentu:

Rumus Integral Tak Tentu

Baca Juga Contoh Soal Integral Tak Tentu

Integral Tentu

Integral tentu didefinisikan sebagai jumlahan suatu daerah yang dibatasi kurva atau persamaan tertentu.

Berbeda dari integral tak tentu, integral tentu memiliki nilai tertentu karena batas yang ditentukan sudah jelas.

Secara umum, integral tentu didefinisikan sebagai

Rumus Integral Tentu
Integral Tentu

Keterangan:

  • f(x)  : persamaan kurva
  • a, b  : batas bawah dan batas atas integral
  • F(b), F(a) : nilai integral untuk x = b dan x = a.

Baca Juga Contoh Soal Integral Tentu

Integral Pecahan

Fungsi pecahan dapat didefinisikan sebagai f(x)/g(x). Penyelesaian integral fungsi pecahan dapat dilakukan dengan memecah fungsi yang kompleks menjadi beberapa fungsi yang lebih sederhana. Perhatikan contoh berikut.

Integral Pecahan

Penyelesaian integral tersebut yaitu sebagai berikut.

Penyelesaian Integral Pecahan

Fungsi pecahan tersebut dapat dipisah menjadi

Penyelesaian Integral Pecahan 2

(A + B) x + B – A = 1

Sehingga

B – A = 1 , dan A + B = 0

Didapatkan B = ½  dan A = – ½

Maka, dengan menggunakan sifat integral diperoleh

Penyelesaian Integral Pecahan 3

= ½ (- ln |x + 1| + ln |x – 1| + C1)

= – ½ ln |x + 1| + ½ ln |x – 1| + C, dengan C = ½ C1

Selanjutnya akan dibahas mengenai integral eksponensial.

Integral Eksponensial

Fungsi eksponensial biasanya dinotasikan dengan ex. Beberapa konsep dasar yang harus dipelajari dalam integral eksponensial yaitu

Rumus Integral Exponensial
Integral Eksponensial

Keterangan:

  • ex, ekx : fungsi eksponensial
  • C     : konstanta

Selanjutnya akan dibahas mengenai integral substitusi.

Integral Substitusi

Beberapa permasalahan atau integral suatu fungsi dapat diselesaikan dengan integral substitusi jika terdapat perkalian fungsi dengan salah satu fungsi merupakan turunan fungsi yang lain.

Perhatikan contoh berikut.

Contoh Integral

Kita misalkan U = ½ x2 + 3 maka dU/dx = x

Sehingga  x dx = dU

Persamaan integral substitusinya menjadi

Contoh Integral 2

= -2 cos U + C = -2 cos ( ½ x2 + 3) + C

Berikutnya akan dijelaskan mengenai integral parsial.

Integral Parsial

Integral parsial biasa digunakan untuk menyelesaikan integral dari perkalian dua fungsi. Secara umum, integral parsial didefinikan dengan

Rumus Integral Parsial
Integral Parsial

Keterangan:

U, V  : fungsi

dU, dV : turunan dari fungsi U dan turunan dari fungsi V

Baca Juga Contoh Soal Integral Parsial

Tabel Integral

Berikut akan disajikan beberapa bentuk integral tak tentu yang lain.

Integral fungsiHasil integral
 Integral Sin X-cos x + C
 Integral Cos Xsin x + C
 Integral Tan Xln |sec x| + C
 Tabel Integralarc sin x + C
 Tabel Integral 2arc tan x + C
 Tabel Integral 3arc sec x + C
 Integral Sinh Xcosh x + C
 Integral Cosh Xsinh x + C

Coba kerjakan soal di bawah ini.

Contoh Soal Integral

Selesaikan integral berikut.

Contoh Soal Integral
Pembahasan

1. Contoh Soal Integral 1

2. Contoh Soal Integral 2a

1/(x2 – x + 6) = 1/((x – 3)(x + 2)) = A/(x – 3)  + B/(x + 2)

A(x + 2) + B (x – 3) = 1

(A + B) x + 2A – 3B = 1

Diperoleh A = 1/5  dan B = – 1/5

Contoh Soal Integral 2b

= 1/5 (ln |x – 3| + C1 – ln |x + 2| – C2) = 1/5 ln |x – 3| – 1/5 ln |x + 2| + C, dengan C = 1/5 C1 – 1/5 C2

3. Contoh Soal Integral 3a, dapat diselesaikan dengan menggunakan integral parsial.

Misal:

u = x maka du = dx

dv = ex dx maka v = Contoh Soal Integral 3b

Sehingga

Contoh Soal Integral 3c

4. Contoh Soal Integral 4

Misal :

u = cos x maka du = – sin x, dengan menggunakan konsep integral substitusi diperoleh:

Contoh Soal Integral 4b

5. Contoh Soal Integral 5

1/3 x3 + 3x + C dengan batas atas 2 dan batas bawah 1, sehingga:

= (1/3 (2)3 + 3 (2)) – (1/3 (1)3 + 3 (1))

= (8/3) + 6 – 1/3 – 3

= 16/3

Apa yang sudah kalian pelajari mengenai integral.

Kesimpulan

kumpulan rumus integral
  • Integral secara sederhana dapat disebut sebagai invers (kebalikan) dari operasi turunan.
  • Integral dibedakan menjadi dua, yaitu integral tak tentu dan integral tentu.
  • Beberapa bentuk dan teknik penyelesaian integral yaitu
    • Integral pecahan
    • Integral eksponensial
    • Integral substitusi
    • Integral parsial
  • Dengan menerapkan sifat-sifat integral akan lebih mudah dalam menyelesaikan integralnya.

Demikian yang dapat disampaikan dalam artikel ini, semoga bermanfaat.

Kembali ke Materi Matematika