Contoh Soal Integral Tentu, Tak tentu, Parsial & Pembahasannya

Integral merupakan cabang ilmu matematika yang memiliki tingkat kesulitan cukup tinggi. Setelah sebelumnya kita membahas lengkap materi Integral, kali ini kita akan membahas contoh soal integral dengan menggunakan sifat-sifat integral tentu dan tak tentu. Simak soal dan pembahasan berikut untuk meningkatkan pemahamanmu mengenai cara penyelesaian soal-soal integral.

Contoh Soal Integral

Pembahasan

Dalam soal ini, batas atas adalah 1 dan batas bawah -2. Tahap pertama yang perlu kita lakukan adalah melakukan integral fungsi  3x2 + 5x + 2 menjadi seperti di bawah ini.

Setelah kita mendapatkan bentuk integral dari fungsi tersebut, kita dapat memasukkan nilai batas atas dan bawah ke dalam fungsi tersebut lalu mengurangkannya menjadi seperti berikut.

Contoh Soal Integral no 1

Hasil dari integral tersebut adalah 27,5.

Pembahasan

Untuk mengerjakan soal ini, kita dapat mencontoh cara pada soal sebelumnya yaitu melakukan integral fungsi terlebih dahulu kemudian mencari nilai p berdasarkan hasil 78 seperti berikut ini.

Setelah kita mendapatkan fungsi integral, kita dapat memasukkan batas atas dan bawah ke dalam fungsi tersebut.

Setelah memasuki fungsi pertidaksamaan tersebut, kita dapat menggunakan sifat pertidaksamaan untuk menyelesaikan soal tersebut sehingga didapatkan nilai P adalah 4. Maka untuk nilai -2p, kita dapat memasukkan nilai 4, maka hasil -2p= -8.

3. Tentukanlah integral x jika f’(x) =  3x2

Pembahasan

Dalam mengerjakan soal ini, kita harus memperhatikan fungsi secara seksama. Dalam soal tersebut fungsi berbentuk f’(x) yang menandakan bahwa fungsi tersebut merupakan suatu turunan dari fungsi tertentu. Untuk mengerjakan soal tersebut, kita dapat menggunakan sifat dasar integral tak tentu seperti di bawah.

Sehingga nilai integral dari fungsi tersebut adalah x3+C

4. Tentukanlah integral x jika diketahui g’(x) =  3x5+3

Pembahasan

Untuk mengerjakan soal ini, kita dapat menggunakan sifat seperti soal pertama. Dalam soal ini, g’(x) merupakan turunan dari suatu fungsi. Berikut ini cara penyelesaiannya

Nilai integral dari g’(x) adalah g(x) =  (1/2)x6 + 3x + C

Di atas adalah contoh soal & pembahasan integral sederhana. Untuk kumpulan soal integral lainnya, lanjut di contoh soal berikutnya ya!

Contoh Soal Integral Tentu

Sekilas tentang Integral Tentu

Integral tentu merupakan hasil jumlahan suatu daerah yang dibatasi kurva dari suatu persamaan tertentu.

Bedanya dengan integral tak tentu, integral tentu sudah mempunyai nilai pasti karena batas yang ditentukan sudah jelas.

Untuk lebih lengkapnya, silakan baca di Integral Tentu.

Di bawah ini ada beberapa latihan atau contoh soal integral tentu beserta pembahasannya yang sudah kami kumpulkan. Yuk, langsung simak pembahasannya di berikut:

1. Carilah hasil dari ʃ21 6x2 dx !

Pembahasan

Contoh Soal Integral Tentu no 1

Jadi, hasil dari ʃ21 6x2 dx adalah 14.

2. Tentukan hasil integral tentu dari ʃ-1-4 7 dx !

Pembahasan

Contoh Soal Integral Tentu no 2

Jadi,  hasil integral tentu dari ʃ-1-4 7 dx adalah 21.

3. Berapakah nilai integral tentu dari ʃ-2-2 3x2 – 2x + 1 dx ?

Pembahasan

Contoh Soal Integral Tentu no 3

Jadi, nilai integral tentu dari ʃ-2-2 3x2 – 2x + 1 dx adalah 20.

4. Hitunglah nilai integral tentu dari ʃ94 1/√x dx !

Pembahasan

Contoh Soal Integral Tentu no 4

Jadi, nilai integral tentu dari ʃ94 1/√x dx adalah 2.

5. Carilah hasil integral tentu dari ʃπ/3π/6 cos x dx

Pembahasan

Contoh Soal Integral Tentu no 5

Jadi, hasil integral tentu dari ʃπ/3π/6 cos x dx adalah ½ √3 – ½.

6. Tentukan hasil integral tentu dari ʃπ/20 cos x + sin x dx

Pembahasan

Contoh Soal Integral Tentu no 6

Jadi, hasil integral tentu dari ʃπ/20 cos x + sin xdx adalah 2.

7. Diketahui ʃp1 2x – 4 dx = -1, berapakah nilai 7p?

Pembahasan

Contoh Soal Integral Tentu no 7

Jadi nilai dari 7p adalah 14.

Contoh Soal Integral Tak Tentu

Sekilas tentang Integral Tak Tentu

Integral tak tentu adalah kebalikan dari turunan, atau lebih sering dikenal dengan sebutan anti turunan atau antiderivative.

Hasil dari Integral tak tentu suatu fungsi merupakan suatu fungsi baru yang belum memiliki nilai yang tentu atau pasti karena masih ada variabel dalam fungsi baru tersebut. Untuk lebih lengkapnya, silakan baca di Integral Tak Tentu.

Berikut kami kumpulkan beberapa contoh soal integral tak tentu beserta pembahasannya. Langsung saja simak pembahasannya di bawah ini:

1. Tentukan hasil dari ʃ 3x2 dx !

Pembahasan

Contoh Soal Integral no 1

Jadi, hasil dari ʃ 3x2 dx adalah x3 + C.

2. Carilah hasil integral tak tentu dari ʃ 8x3 – 6x2 + 4x – 2 dx.

Pembahasan

Contoh Soal Integral no 2

Jadi hasil dari ʃ 8x3 – 6x2 + 4x – 2 dx adalah 2x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + C.

3. Tentukan nilai dari ʃ 4 sin x + 7 cos x dx !

Pembahasan

ʃ sin x dx = – cos x + C

ʃ cos x dx = sin x + C

Maka:

ʃ 4 sin x + 7 cos x dx = – 4cos x + 7sin x + C

Jadi, nilai dari nilai dari ʃ 4 sin x + 7 cos x dx adalah – 4cos x + 7sin x + C.

4. Carilah nilai dari ʃ (3x-2)(x+6) dx

Pembahasan

(3x-2)(x+6) = 3x2 + 18x – 2x -12 = 3x2 + 16x -12

Contoh Soal Integral no 4

Jadi, hasil dari ʃ (3x-2)(x+6) dx adalah x3 + 8x2 – 12x + C.

5. Hitunglah nilai dari ʃ dx/(3x2) !

Pembahasan

ʃ dx/(3x2) =  ʃ ⅓ x2  dx

Contoh Soal Integral no 5

Jadi, nilai dari ʃ dx/(3x2) adalah – 1/(3x) + C.

6. Carilah nilai dari ʃ -5 sin x + 3 cos x – 4 dx!

Pembahasan

Ingat!

ʃ sin x dx = – cos x + C

ʃ cos x dx = sin x + C

Maka:

ʃ -5 sin x + 3 cos x – 4 dx = (-5) ( -cos x) + 3 (sin x) – 4 + C

ʃ -5 sin x + 3 cos x – 4 dx = 5 cos x + 3 sin x – 4 + C

Jadi, nilai dari ʃ -5 sin x + 3 cos x – 4 dx adalah 5 cos x + 3 sin x – 4 + C.

7. Tentukan nilai dari ʃ (4x+3)7 dx

Pembahasan

Contoh Soal Integral no 7

Jadi nilai dari ʃ (4x+3)7 dx adalah 1/32  (4x+3)8 + C

Contoh Soal Integral Parsial

Sekilas tentang Integral Parsial

Pada umumnya, Integral parsial digunakan untuk menyelesaikan persoalan integral dari perkalian dua fungsi. Biasanya, rumus integral parsial digunakan jika rumus integral dasar tidak bisa digunakan untuk menyelesaikan persoalan integral.

Untuk lebih lengkapnya, silakan baca di Integral Parsial.

Berikut ini telah kami rangkum beberapa contoh soal integral parsial beserta jawaban dan pembahasannya. Silakan anda simak dan pelajari pembahasannya di bawah ini:

1. Tentukan hasil dari ʃ (2x+1) cos (x + π) dx !

Pembahasan

Misal

u = 2x+1

dv = cos (x + π) dx

Maka

du = 2 dx

v = ʃ cos (x + π) dx = sin (x + π)

Sehingga

∫ u dv = uv − ∫v du

∫ u dv = (2x+1) . sin (x +π) − ∫ sin (x + π) . 2 dx 

∫ u dv = (2x+1) . sin (x +π) − 2 (− cos (x + π)) + C

∫ u dv = (2x+1) . sin (x +π) + 2 cos (x + π) + C

Jadi, hasil dari ʃ (2x+1) cos (x + π) dx adalah (2x+1) . sin (x +π) + 2 cos (x + π) + C.

2. Berapakah hasil dari ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx

Pembahasan

Misal

u = 3x + 2

dv = sin (3x + 2) dx

Maka

du = 3 dx

v = ʃ sin (3x + 2) dx = − ⅓ cos (3x + 2)

Sehingga

∫ u dv = uv − ∫v du

∫ u dv = (3x + 2) . (− ⅓ cos (3x + 2)) − ∫ (− ⅓ cos (3x + 2)) . 3 dx

∫ u dv = − (x+2/3) . cos (3x + 2) + ⅓ . ⅓ sin (3x + 2) + C

∫ u dv = − (x+2/3) . cos (3x + 2) + 1/9 sin (3x + 2) + C

Jadi, hasil dari ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx adalah − (x+2/3) . cos (3x + 2) + 1/9 sin (3x + 2) + C.

3. Hitunglah hasil dari ∫ x sin x dx = …

Pembahasan

Misal

u = x

dv = sin x dx

Maka

du = 1 dx

v = ʃ sin x dx = − cos x

Sehingga

∫ u dv = uv − ∫v du

∫ u dv = x . ( − cos x) − ∫(− cos x) dx

∫ u dv = − x cos x + sin x + C

Jadi, hasil dari ∫ x sin x dx adalah − x cos x + sin x + C.

4. Carilah hasil dari ∫ x(x + 5)4 dx !

Pembahasan

Misal

u = x

dv = (x + 5)4 dx

Maka

du = 1 dx

v = ʃ (x + 5)4 dx = 1/5 (x + 5)5 dx

Sehingga

∫ u dv = uv − ∫v du

∫ u dv = x . ( 1/5 (x + 5)5) − ∫(1/5 (x + 5)5) dx

∫ u dv = x/5 (x + 5)5 1/30 (x + 5)6 + C (sampai sini sudah selesai, namun masih bisa disederhanakan)

Penyederhanaan

∫ u dv = x/5 (x + 5)5 1/30 (x + 5)6 + C

∫ u dv = x/5 (x + 5)5 1/30 (x + 5)(x + 5)5 + C

∫ u dv = (x/5 1/30 (x + 5))(x + 5)5 + C

∫ u dv = (6x/30 x/30 + 5/30))(x + 5)5 + C

∫ u dv = (5x/30 + 5/30))(x + 5)5 + C

∫ u dv = 5/30(x + 1)(x + 5)5 + C

∫ u dv = 1/6(x + 1)(x + 5)5 + C

Jadi, hasil dari ∫ x(x + 5)4 dx adalah 1/6(x + 1)(x + 5)5 + C

5. Tentukan hasil dari ∫ (x2 + 1) sin x dx !

Pembahasan

Misal

u = x2 + 1

dv = sin x dx

Maka

du = 2x dx

v = ʃ sin x dx = – cos x

Diperoleh

∫ u dv = uv − ∫v du

∫ u dv = (x2 + 1)(- cos x) – ʃ (- cos x) 2x dx

∫ u dv = – (x2 + 1) cos x + ʃ 2x cos x dx … (1)

Karena ʃ 2x cos x dx tidak bisa langsung diintegralkan, maka kita harus mengulangi proses integral parsial untuk menemukan hasil ʃ 2x cos x dx terlebih dahulu.

Agar tidak sama dengan permisalan sebelumnya, kita gunakan variabel lain

Misal

a = 2x

db = cos x dx

Maka

da = 2 dx

b = ʃ cos x dx = sin x

Diperoleh

∫ a db = ab − ∫b da

∫ a db = 2x sin x − ∫ sin x . 2 dx

∫ a db = 2x sin x − 2 (-cos x)

∫ a db = 2x sin x + 2 cos x + C

ʃ 2x cos x dx = 2x sin x + 2 cos x

Selanjutnya, substitusikan hasil ʃ 2x cos x dx ke (1), sehingga diperoleh

∫ u dv = – (x2 + 1) cos x + ʃ 2x cos x dx

∫ u dv = – (x2 + 1) cos x +2x sin x + 2 cos x + C

∫ u dv = – x2 cos x – cos x +2x sin x + 2 cos x + C

∫ u dv = – x2 cos x + cos x +2x sin x + C

∫ u dv = (1 – x2) cos x +2x sin x + C

Jadi, hasil dari ∫ (x2 + 1) sin x dx adalah (1 – x2) cos x +2x sin x + C.

Demikian beberapa latihan soal integral tentu, integral tak tentu, integral parsial beserta pembahasannya. Semoga dengan latihan soal di atas bisa bermanfaat untuk meningkatkan kemampuan dalam menyelesaikan soal-soal integral.

Sekian dari rumuspintar, selamat belajar.

Kembali ke Materi Matematika