Pernahkah kalian menduga sesuatu?
Bagaimana kalian mendapatkan kesimpulan dari dugaan kalian?
Tentunya kalian menggunakan logika kalian untuk mengambil kesimpulan. Dalam dunia matematika pun terdapat logika.
Pernahkah mendengar “Logika Matematika”?
Pembahasan tentang logika matematika akan dibahas lebih lanjut dibawah ini.
Daftar Isi
Pengertian Logika Matematika
Dalam Matematika, logika digunakan untuk menarik kesimpulan berdasarkan premis-premis yang kita miliki.
Lalu, apa itu premis?
Premis menurut KBBI adalah pernyataan yang dianggap benar sebagai landasan bagi kesimpulan yang akan diperoleh.
Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka merupakan suatu kalimat lengkap yang belum pasti kebenarannya, baik benar maupun salah. Contoh dari kalimat terbuka adalah
f(x) : 2x-1>5, x ∈ R
kalimat tersebut merupakan kalimat terbuka dikarenakan misal saat x=5 maka f(x) bernilai benar, sedangkan pada saat x=1 kalimat tersebut bernilai benar.
Kalimat Tertutup
Kalimat tertutup merupakan kebalikan dari kalimat terbuka, kalimat tertutup adalah kalimat lengkap yang sudah dapat dipastikan nilai kebenarannya, baik benar maupun salah. Contoh dari kalimat tertutup adalah
“Bilangan 2 merupakan bilangan prima genap”
Kalimat tersebut dapat dikategorikan sebagai kalimat tertutup dikarenakan dapat kita ketahui nilai kebenarannya. Nilai kebenaran dari kalimat tersebut adalah benar.
Negasi
Negasi sering disebut juga ingkaran atau penyangkalan. Negasi adalah kebalikan nilai dari sebuah kalimat.
Jadi ketika kalimat awal bernilai benar, maka negasinya akan bernilai salah, begitu juga sebaliknya. Negasi biasanya dinotasikan dengan ~ (negasi).
Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut
| p (Kalimat awal) | ~p (negasi dari p) |
| B | S |
| S | B |
Contoh kalimat :
- p: 5 adalah bilangan genap (Bernilai Salah)
- ~p: 5 adalah bukan bilangan genap (bernilai benar)
Konjungsi
Konjungsi merupakan kalimat majemuk yang terbentuk dari minimal 2 kalimat yang dihubungkan dengan kata hubung “dan”.
Konjungsi memiliki notasi ˄ , konjungsi tersebut hanya akan bernilai benar jika semua kalimat awalnya bernilai benar.
Tabel kebenaran konjungsi adalah sebagai berikut.
| p | q | p ˄ q |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | S |
Contoh konjungsi :
- p : 2 adalah bilangan prima (benar)
- q : 2 adalah bilangan genap (benar)
- p^q : 2 adalah bilangan prima dan genap (benar)
Disjungsi
Disjungsi merupakan kalimat majemuk yang terbentuk dari minimal 2 kalimat yang dihubungkan dengan kata hubung “atau”. Disjungsi memiliki notasi ∨, Disjungsi tersebut hanya akan bernilai salah jika semua kalimat awalnya bernilai salah.
Tabel kebenaran disjungsi adalah sebagai berikut.
| p | q | p ∨ q |
| B | B | B |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
Contoh disjungsi :
- p : 2 adalah bilangan prima (benar)
- q : 2 adalah bilangan ganjil (salah)
- p^q : 2 adalah bilangan prima atau ganjil(benar)
Implikasi
Implikasi merupakan kalimat majemuk yang terbentuk dari minimal 2 kalimat yang dihubungkan dengan kata hubung “jika… maka…”. Implikasi memiliki notasi ⇒, Implikasi tersebut hanya akan bernilai salah jika kalimat awalnya bernilai benar kemudian salah.
Tabel kebenaran implikasi adalah sebagai berikut.
| p | q | p ⇒ q |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | B |
| S | S | B |
Contoh implikasi :
- p : 2 adalah bilangan prima (benar)
- q : 2 hanya bisa dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri (benar)
- p ˄ q : jika 2 adalah bilangan prima maka hanya bisa dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri(benar)
Biimplikasi
Biimplikasi merupakan kalimat majemuk yang terbentuk dari minimal 2 kalimat yang dihubungkan dengan kata hubung “… jika dan hanya jika …”.
Implikasi memiliki notasi ⇔, biimplikasi tersebut hanya akan bernilai benar jika semua kalimat awalnya bernilai benar atau semua kalimatnya bernilai salah.
Tabel kebenaran biimplikasi adalah sebagai berikut.
| p | q | p ⇔ q |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | B |
Contoh implikasi :
- p : 5 adalah bilangan prima (benar)
- q : 5 adalah bilangan genap(salah)
- p ˄ q : 5 adalah bilangan prima jika dan hanya jika 5 adalah bilangan genap (salah)
Baca juga Permutasi dan Kombinasi.
Contoh Soal Logika Matematika
Jika diketahui kalimat sebagai berikut
p: 10 adalah bilangan bulat bukan prima
q: 10 adalah bilangan ganjil
bagaimanakah kalimat majemuk dari p ˄ q dan p ∨ q serta tentukan nilai kebenaran dari masing masing kalimat majemuk tersebut
p: 10 adalah bilangan bulat bukan prima (benar)
q: 10 adalah bilangan ganjil (salah)
p ˄ q : 10 adalah bilangan bulat bukan prima dan ganjil
berdasarkan tabel konjungsi, nilai kebenaran dari p ˄ q adalah salah
p ∨ q : 10 adalah bilangan bulat bukan prima atau 10 adalah bilangan ganjil
berdasarkan tabel disjungsi, nilai kebenaran dari p ∨ q adalah benar.
Baca juga Himpunan.