Permutasi dan Kombinasi

Pada artikel kali ini, kita akan membahas mengenai permutasi dan kombinasi.

Apakah kalian sudah mengenal notasi faktorial?

Notasi faktorial dilambangkan dengan tanda “ ! “.  Misalkan kita akan menghitung hasil dari 4!. Nilai dari 4! Dapat dihitung sebagai 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Jika kalian sudah memahaminya, kita akan lanjut ke materi berikutnya yaitu mengenai permutasi dan kombinasi.

Definisi Permutasi dan Kombinasi

Permutasi dapat diartikan sebagai aturan pencacahan/penyusunan dengan memperhatikan urutan objek.

Sedangkan kombinasi merupakan suatu aturan pencacahan/penyusunan tanpa memperhatikan urutan objek.

Perhatikan dua permasalahan di bawah ini.

Permasalahan 1

Dalam suatu lomba yang diikuti oleh 10 peserta akan diambil juara 1, juara 2, dan juara 3. Berapa banyaknya kemungkinan susunan pemenang?

Permasalahan 2

Dalam suatu kelas yang terdiri dari 12 siswa akan dikirimkan delegasi yang terdiri dari 3 orang. Berapa banyak susunan delegasi yang mungkin?

Dari dua permasalahan tersebut, dapatkah kalian membedakan manakah permasalahan yang menerapkan konsep permutasi atau kombinasi untuk menyelesaikaanya?

Pada permasalahan pertama, konsep yang digunakan adalah konsep permutasi.

Mengapa menggunakan konsep permutasi?

Karena pada permasalahan tersebut memperhatikan urutan, yaitu juara 1, juara 2, dan juara 3.

Sedangkan pada permasalahan dua kita dapat menyelesaikannya dengan konsep kombinasi karena permasalahan tersebut penyusunannya tidak memperhatikan urutan.

Selanjutnya akan diberikan contoh penerapan permutasi dan kombinasi.

Permutasi dan Kombinasi dalam Kehidupan Sehari-hari

Permutasi dan kombinasi sering kita terapkan pada kehidupan sehari-hari.

Misalkan saat kita menyusun telur dalam suatu tempat. Jika kita memiliki 10 butir telur dan 5 tempat/wadah, berapa banyak susunan berbeda yang mungkin?

Selain itu, konsep permutasi dan kombinasi dapat diterapkan dalam permasalahan mengenai susunan tempat duduk dan lain sebagainya.

Lebih lanjut, dengan menggunakan konsep permutasi dan kombinasi, kalian akan dapat menentukan peluang suatu kejadian untuk memprediksi/memperkirakan kejadian yang mungkin di masa mendatang.

Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

Terdapat beberapa perbedaan antara permutasi dan kombinasi. Perbedaan tersebut salah satunya yaitu permutasi memperhatikan urutan objek, sedangkan pada kombinasi tidak memperhatikan urutan.

Akibatnya permutasi dan kombinasi pun memiliki perbedaan dalam penyelesaiannya. Rumus untuk permutasi dan kombinasi akan disajikan dalam bagian di bawah ini.

Permutasi

Rumus Permutasi

Secara umum, rumus permutasi yaitu sebagai berikut.

P(n, r) = n!/(n-r)!

Keterangan:

  • P(n, r) : permutasi r objek dari n objek yang ada
  • n : banyaknya objek keseluruhan
  • r  : banyaknya objek yang diamati/diberi perlakuan

Salah satu macam permutasi yang perlu kalian ketahui adalah permutasi siklis. Penjelasan mengenai permutasi siklis akan disampaikan pada bagian di bawah ini.

Permutasi Siklis

Pembahasan mengenai permutasi siklis penting untuk dipelajari. Coba pahami permasalahan berikut ini.

Dalam suatu restoran, terdapat 6 orang yang duduk secara melingkar. Berapa banyak susunan tempat duduk yang mungkin?

Apakah kalian akan menyelesaikan permasalahan tersebut menggunakan rumus permutasi pada  pembahasan sebelumnya?

Coba kalian amati gambar berikut.

Permutasi Siklis

Untuk menentukan banyaknya susunan tempat duduk berbeda untuk 6 orang yang duduk melingkar dapat kita mulai dengan menentukan salah satu tempat duduk sebagai acuan. Sehingga tersisa 5 tempat duduk yang lainnya.

Dari 5 tempat duduk tersebut, jika kita mencoba menentukan banyaknya susunan yaitu:

  • Kursi 1 : banyaknya kemungkinan orang yang duduk pada kursi tersebut ada 5
  • Kursi 2 : banyaknya kemungkinan orang yang duduk pada kursi tersebut ada 4
  • Kursi 3 : banyaknya kemungkinan orang yang duduk pada kursi tersebut ada 3
  • Kursi 4 : banyaknya kemungkinan orang yang duduk pada kursi tersebut ada 2
  • Kursi 5 : banyaknya kemungkinan orang yang duduk pada kursi tersebut ada 1

Dengan menerapkan konsep aturan perkalian diperoleh

Banyaknya susunan duduk = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 cara.

Sehingga, secara umum, rumus permutasi siklik untuk n objek yaitu:

Psiklik(n) = (n – 1)!

Keterangan:

  • Psiklik(n) : banyaknya permutasi siklik dari n objek
  • n   : banyaknya objek

Selanjutnya, coba kerjakan latihan soal permutasi berikut.

Contoh Soal Permutasi

1. Dalam suatu pemilihan pengurus kelas akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara kelas. Jika banyaknya siswa di kelas tersebut adalah 15, berapa banyak susunan pengurus yang mungkin?

Pembahasan

Banyaknya kemungkinan siswa terpilih menjadi ketua adalah 15.

Karena ketua sudah dipilih, tersisa 14 siswa.

Jika selanjutnya memilih sekretaris, banyaknya kemungkinan siswa terpilih menjadi sekretaris adalah 14 dan banyaknya kemungkinan siswa terpilih menjadi bendahara adalah 13.

Banyak susunan pengurus kelas yang mungkin adalah 15 x 14 x 13 = 2.730 cara. Atau dengan menggunakan rumus permutasi diperoleh:

P(15, 3) = 15!/(15 – 3)! = (15 x 14 x 13 x 12!)/12! = 15 x 14 x 13 = 2.730 cara.

2. Dalam suatu pertemuan, terdapat kursi yang disusun secara melingkar. Jika terdapat 7 kursi dan 7 orang dalam pertemuan tersebut, berapa banyak susunan tempat duduk yang mungkin?

Pembahasan

Soal tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep permutasi siklis. Dengan demikian, banyaknya susunan adalah (n – 1)! = (7 -1)! = 6! = 720 cara.

Selanjutnya akan dibahas mengenai rumus kombinasi.

Kombinasi

Rumus Kombinasi

Rumus kombinasi r objek dari n objek dapat dituliskan sebagai berikut.

C(n, r) = n!/(r! (n – r)!)

Keterangan:

  • C(n, r) : permutasi r objek dari n objek yang ada
  • n : banyaknya objek keseluruhan
  • r  : banyaknya objek yang diamati/diberi perlakuan

Selanjutnya, coba kerjakan soal mengenai kombinasi di bawah ini.

Contoh Soal Kombinasi

1. Terdapat 8 orang dalam suatu kelompok. Jika 3 dari 8 orang tersebut akan dijadikan delegasi dalam suatu pertemuan internasional, berapa banyak susunan delegasi yang mungkin?

Pembahasan

Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menerapkan rumus kombinasi karena dalam permasalahan tersebut urutan tidak diperhatikan.

C(8, 3) = 8!/(3! (8 – 3)!) = 8!/(3! x 5!) = (8 x 7 x 6 x 5!)/(3x 2 x 1 x 5!) = (8 x 7 x 6)/(3 x 2 x1) = 56 susunan delegasi.

2. Dalam suatu pesta terdapat 10 orang yang hadir dalam pesta tersebut. Jika setiap orang saling berjabat tangan antara satu dengan yang lain, berapa banyak jabat tangan yang dilakukan dalam pesta tersebut?

Pembahasan

Penyelesaian soal ini bisa dilakukan dengan memasangkan dua orang yang saling berjabat tangan, sehingga dapat ditentukan dengan kombinasi 2 dari 10 orang.

C(10, 2) = 10!/(2! (10 – 2)!) = (10 x 9 x 8!)/(2! X 8!) = (10 x 9)/2 = 45 jabat tangan.

Dengan menggunakan cara yang lain juga diperoleh:

Misal terdapat 2 orang dalam pesta, maka banyak jabat tangan adalah 1.

Misal terdapat 3 orang dalam pesta, maka banyak jabat tangan adalah 1 + 2 = 3

Misal terdapat 4 orang dalam pesta, maka banyak jabat tangan adalah 1 + 2 + 3 = 6

Dan seterusnya, sehingga:

Jika terdapat 10 orang dalam pesta, maka banyak jabat tangan adalah

1 + 2 + 3 + . . . + 9 = 45 jabat tangan.

Mari kita simpulkan bersama.

Kesimpulan

  • Permutasi dapat diartikan sebagai aturan pencacahan/penyusunan dengan memperhatikan urutan objek. Sedangkan kombinasi merupakan suatu aturan pencacahan/penyusunan tanpa memperhatikan urutan objek.
  • Perbedaan permutasi dan kombinasi yaitu pada permutasi memperhatikan urutan objek, sedangkan pada kombinasi tidak.
  • Rumus untuk permutasi adalah P(n, r) = n!/(n – r)!
  • Rumus untuk permutasi siklis adalah (n – 1)!
  • Rumus untuk kombinasi adalah C(n, r) = n!/(r! (n – r)!

Demikian artikel mengenai permutasi dan kombinasi kali ini. Semoga dapat memberikan tambahan wawasan dan pengetahuan bagi kalian semua. Baca juga Peluang.

Leave a Comment