Identitas Trigonometri: Identitas, Persamaan, Grafik fungsi, Tabel, Sudut Istimewa, Contoh Soal

Mari kita belajar mengenai identitas trigonometri. Salah satu materi dalam trigonometri adalah perbandingan sisi-sisi dalam segitiga. Pelajari lebih lanjut tentang Definisi Trigonometri.

Apakah kalian masih mengingatnya?

Perbandingan sisi segitiga tersebut digunakan untuk mempermudah dalam memahami sinus, cosinus, tangen, secan, cosecan, dan cotangen.

Dalam pembahasan kali ini akan dijelaskan mengenai identitas trigonometri, grafik fungsi trigonometri, sudut-sudut istimewa dan pembahasan trigonometri lainnya.

Pelajari definisi identitas trigonometri berikut.

Definisi Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri merupakan suatu relasi atau hubungan antara suatu persamaan trigonometri dengan persamaan trigonometri lainnya.

Identitas trigonometri juga mencakup fungsi kebalikan, seperti

  • Cosecan = 1/sin
  • Secan = 1/cos
  • Cotangen = 1/tan

begitu pulan sebaliknya. Masing-masing fungsi dapat digambarkan grafik fungsi trigonometrinya.

Pembahasan mengenai grafik fungsi trigonometri akan dijelaskan pada bagian selanjutnya.

Pada bagian di bawah ini akan dijelaskan contoh penerapan identitas trigonometri.

Penerapan Identitas Trigonometri

Terdapat beberapa penerapan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari misalnya jika kita ingin mengetahui tinggi pohon, tiang bendera, atau tinggi gedung, maka kita cukup mengukur jarak gedung dengan titik acuan serta sudut elevasi permukaan tanah dengan puncak gedung.

Dengan langkah tersebut dan pengetahuan trigonometri yang kalian kuasai, maka akan dengan mudah menghitung tinggi suatu objek.

Selanjutnya akan dibahas mengenai grafik fungsi trigonometri.

Grafik Fungsi Trigonometri

Perhatikan beberapa grafik fungsi trigonometri berikut.

Grafik fungsi sinus

Grafik Fungsi Trigonometri Sinus

Grafik fungsi cosinus

Grafik Fungsi Trigonometri Cosinus

Grafik fungsi tangen

Grafik Fungsi Trigonometri Tangen

Beberapa grafik fungsi trigonometri tersebut digunakan untuk mempermudah dalam menentukan nilai sinus, cosinus, tangen, dan nilai trigonometri lainnya.

Berikut akan dijelaskan mengenai sudut istimewa.

Sudut Istimewa

Sudut-sudut istimewa merupakan beberapa sudut yang dapat dengan mudah kita tentukan nilai trigonometrinya.

Beberapa sudut istimewa tersebut yaitu 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Untuk nilai dari masing-masing sudut istimewa tersebut akan dijelaskan pada bagian di bawah ini.

Tabel Trigonometri

Perhatikan grafik fungsi sinus berikut.

Grafik Fungsi Trigonometri Sinus

Pada grafik fungsi sinus tersebut, beberapa nilai sinusnya yaitu

  • sin 0° = 0
  • sin 30° = ½
  • sin 45° = ½ √2
  • sin 60° = ½ √3
  • sin 90° = 1
  • sin 270° = -1

Perhatikan grafik fungsi cosinus berikut.

Grafik Fungsi Trigonometri Cosinus

Beberapa niai cosinus dari fungsi tersebut yaitu

  • cos 0° = 1
  • cos 30° = ½ √3
  • cos 45° = ½ √2
  • cos 60° = ½
  • cos 90° = 0

Perhatikan grafik fungsi tangen berikut.

Grafik Fungsi Trigonometri Tangen

Beberapa nilai tangen dari fungsi tersebut yaitu

  • tan 0° = 0
  • tan 30° = 1/√3
  • tan 45° = 1
  • tan 60° = √3
  • tan 90° = (tidak terdefinisi)

Selanjutnya akan ditampilkan tabel sinus, cosinus, dan tangen.

Tabel Sin Cos Tan

Berikut merupakan tabel sinus, cosinus, dan tangen.

α30°45°60°90°120°135°150°180°
sin α0½½ √2½ √31½ √3½ √21/20
cos α1½ √3½ √2½0-½  -½ √2-½ √3-1
tan α01/√31√3-√3-1-1/√30
α210°225°240°270°300°315°330°360°
sin α-1/2-½ √2-½ √3-1-½ √3-½ √20
cos α-½ √3-½ √20½½ √2½ √31
tan α1/√31√3-√3-1-1/√30

Keterangan:

α  : besar sudut

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai beberapa persamaan trigonometri.

Persamaan Trigonometri

Beberapa persamaan yang perlu kalian ketahui untuk mempermudah penyelesaian fungsi trigonometri yang lebih kompleks yaitu

  • sin (90° – x) = cos x
  • sin (90° + x) = cos x
  • sin (180° – x) = sin x
  • sin (180° + x) = – sin x
  • cos (90° – x) = sin x
  • cos (90° + x) = – sin x
  • cos (180° – x) = – cos x
  • cos (180° + x) = – cos x

Beberapa persamaan trigonometri berikut merupakan bentuk identitas trigonometri.

Identitas trigonometri terhadap sinus

  • sin 2x = 2 sin x cos x
  • sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
  • sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b
  • sin2 x = 1 – cos2x

Identitas trigonometri terhadap cosinus

  • cos 2x = cos2x – sin2x
  • cos 2x = 2 cos2x – 1
  • cos 2x = 1 – 2 sin2x
  • cos2x = 1- sin2x
  • cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b
  • cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b

Identitas trigonometri lainnya

  • sec2x – tan2x = 1
  • sin2x + cos2x = 1

Keterangan:

x, a, b : besar sudut

Coba kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.

Contoh Soal Grafik Fungsi Trigonometri

1. Tentukan nilai dari

  • sin 120°
  • cos 225°
  • tan 60°
  • sin 270°
  • cos 90°
  • tan 180°
Pembahasan
  • sin 120° = ½ √3
  • cos 225° = – ½ √2
  • tan 60° = √3
  • sin 270° = -1
  • cos 90° = 0
  • tan 180° = 0

2. Tentukan nilai fungsi trigonometri berikut.

  • sin 105°
  • cos 15°
  • sin270° + cos270°
Pembahasan

sin 105° = sin (60° + 45°)

sin (60° + 45°) = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°

= ½ √3 . ½ √2 + ½ . ½ √2

=  ¼ √6 + ¼ √2 = ¼ (√6 + √2)

cos 15° = cos (45° – 30°)

cos (45° – 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin30°

= ½ √2 . ½ √3 + ½ √2 . ½

= ¼  √6 + ¼ √2 = ¼ (√6 + √2)

sin270° + cos270°

Karena sin2x + cos2x = 1, maka sin270° + cos270° = 1

Mari kita simpulkan bersama.

Kesimpulan

  • Identitas trigonometri merupakan suatu relasi atau hubungan antara suatu persamaan trigonometri dengan persamaan trigonometri lainnya.
  • Beberapa sudut istimewa yaitu 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
  • Untuk menentukan besar sinus, cosinus, dan tangen sudut dapat dengan melihat nilai pada grafik fungsi trigonometri.
  • Besar sinus, cosinus, dan tangen dari sudut istimewa
α30°45°60°90°120°135°150°180°
sin α0½½ √2½ √31½ √3½ √21/20
cos α1½ √3½ √2½0-½  -½ √2-½ √3-1
tan α01/√31√3-√3-1-1/√30
α210°225°240°270°300°315°330°360°
sin α-1/2-½ √2-½ √3-1-½ √3-½ √20
cos α-½ √3-½ √20½½ √2½ √31
tan α1/√31√3-√3-1-1/√30
  • Beberapa bentuk identitas fungsi trigonometri yaitu:

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x – 1 = 1 – 2 sin2x

sin2x + cos2x = 1

Demikian pembahasan mengenai identitas trigonometri kali ini. Semoga dapat menambah pengetahuan kalian tentang matematika, khusunya mengenai trigonometri. Baca juga Limit Trigonometri.

Leave a Comment