Trigonometri: Turunan, Integral, dan Contoh Soal

Pernahkah kalian mendengar trigonometri?

Kata trigonometri biasanya sering ditemui dalam pembelajaran matematika, khususnya mengenai sisi dan sudut segitiga.

Untuk mempelajari lebih jauh mengenai trigonometri, mari kita simak penjelasan berikut ini

Definisi Trigonometri

Trigonometri berasal dari kata trigonos (segitiga) dan metros (ukuran).

Trigonometri adalah salah satu cabang ilmu dalam matematika yang mempelajari mengenai ukuran sisi dan sudut pada segitiga.

Awalnya, trigonometri hanya berkaitan dengan perbandingan sisi dan sudut pada segitiga siku-siku. Namun seiring perkembangan zaman, trigonometri terus berkembang hingga sekarang.

Trigonometri dalam kehidupan sehari-hari

Penerapan trigonometri dalam berbagai bidang diantaranya adalah penggunaan trigonometri dalam mencari ketinggian bangunan maupun pegunungan, penggunaan trigonometri dalam menghitung ketinggian gelombang air laut, menghitung ketinggian suatu pohon, selain itu, trigonometri juga dapat digunakan dalam mencari jarak antar benda benda luar angkasa.

Perbandingan trigonometri

Beberapa hal dasar yang harus kita ketahui tentang trigonometri salah satunya adalah mengenai perbandingan trigonometri. Untuk lebih jelasnya melalui gambar dibawah ini.

Tabel nilai fungsi trigonometri sudut istimewa

Untuk beberapa sudut istimewa, nilai fungsi trigonometrinya dituliskan dalam tabel berikut ini

Identitas trigonometri

Selain perbandingan trigonometri, ada juga hal yang tidak kalah penting, yaitu identitas trigonometri. Identitas trigonometri tersebut diantaranya

sin²a+cos²a=1

1+tan²a=sec²a

1+cot²a=csc²a

Pelajari lebih lanjut di Identitas Trigonometri.

Aturan sinus dan cosinus

Diketahui terdapat segitiga sembarang ABC seperti pada gambar, sehingga

Aturan sinus : pada segitiga sembarang ABC, perbandingan antara panjang sisi dengan sin sudut yang berhadapan dengan sisi tersebut memiliki nilai yang sama

Aturan cosinus : untuk segitiga sembarang ABC, berlaku

Turunan fungsi trigonometri

Sebelumnya sudah kita bahas mengenai dasar dasar trigonometri, setiap fungsi yang memuat atau menyatakan tentang trigonometri dapat kita sebut fungsi trigonometri.

Fungsi trigonometri memiliki turunan dari fungsi tersebut.

Turunan dari suatu fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk dy/dx yang menyatakan turunan fungsi y terhadap x, selain itu dapat juga dinyatakan sebagai y’ yang menyatakan bentuk turunan pertama dari fungsi y.

Bagaimana cara mencari turunan dari fungsi trigonometri? rumus dasar untuk turunan fungsi trigonometri adalah

1. f(x) = sin x → f’(x) = cos x
2. f(x) = cos x → f’(x) = – sin x
3. f(x) = tan x → f’(x) = sec²x
4. f(x) = cot x → f’(x) = – csc²x
5. f(x) = sec x → f’(x) = sec x . tan x
6. f(x) = csc x → f’(x) = – csc x . tan x

Selain itu, terdapat pula rumus pengembangan dari turunan fungsi trigonometri dengan menggunakan rumus aturan rantai sebagai berikut

Misalkan v(x) adalah fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan f(v)=sin v, maka untuk y=f[v(x)] diperoleh y’ = f’[v(x)] . v’(x)

Y’ = (cos v) (v’)

Y’ = v’ cos v

Untuk turunan yang lain analog. Sehingga diperoleh

1. y = sin v→ y’ = v’.cos v
2. y = cos v → y’ = –v’.sin v
3. y = tan v → y’ = v’. sec²v
4. y = cot v → y’ = v’. csc²v
5. y = sec v → y’ = v’. sec v . tan v
6. y = csc v → y’ = –v’. csc v . tan v

Integral fungsi trigonometri

Selain turunan fungsi trigonometri, integral fungsi trigonometri juga tidak kalah penting dalam ilmu trigonometri. Beberapa dasar dalam integral fungsi trigonometri diantaranya

Contoh Soal

1. Tentukan turunan dari

g(x) = cos (4x+8)

h(x) = 6 cos²x untuk x= π/3

2. Tentukan integral dari

Pembahasan

1. Akan dicari turunan dari

g(x) = cos (4x+8)

misalkan u = 4x+8, maka u’ adalah 4

g’(x) = (4)(-sin(4x+8))

g’(x) = – 4 sin (4x+8)

h(x) = 6 cos²x untuk x = π/3

h(x) = 6(cos x)² maka

h’(x) = 12 (cos x)² (-sin x)

h’(x) = -12 cos²x sin x

h’(π/3) = -12 cos² ( π/3 ) sin ( π/3 )

h’(π/3) = -12 ( ½ )² ( ½√3 )

h’(π/3) = – (3/2)√3 

2. akan dicari integral dari

Untuk latihan soal lebih lengkap, baca contoh soal trigonometri

Demikian pembahasan tentang turunan dan integral trigonometri. Semoga bermanfaat.