Integral: Pengertian, Macamnya, Rumus Lengkap

Artikel kali ini akan membahas mengenai integral.

Sebelum mempelajari materi integral, sebaiknya kalian memahami terlebih dahulu materi diferensial atau turunan.

Sudahkah kalian belajar mengenai diferensial atau turunan?

Materi turunan (diferensial) akan digunakan dalam penyelesaian integral. Untuk memahami apa itu integral, pelajari materi di bawah ini.

Definisi Integral

Integral secara sederhana dapat disebut sebagai invers (kebalikan) dari operasi turunan. Integral dibedakan menjadi dua yaitu integral tak tentu dan integral tentu.

Integral tak tentu merujuk pada definisi integral sebagai invers (kebalikan) dari turunan, sedangkan integral tentu didefinisikan sebagai jumlahan suatu daerah yang dibatasi kurva atau persamaan tertentu.

Pada bagian di bawah akan dijelaskan contoh penerapan integral.

Contoh Penerapan Integral

Integral dimanfaatkan dalam berbagai bidang. Pada bidang matematika dan teknik, integral digunakan untuk menghitung volume benda putar dan luasan pada kurva.

Pada bidang fisika, pemanfaatan integral digunakan untuk menghitung dan menganalisis rangkaian arus listrik, medan magnet, dan lainnya.

Dalam bidang ekonomi, integral digunakan untuk menentukan persamaan dan fungsi yang berkaitan dengan ekonomi, konsumsi, marginal, dan sebagainya.  

Berikut akan dijelaskan mengenai rumus integral dasar/sederhana.

Rumus Integral

Misalkan terdapat suatu fungsi sederhana axⁿ. Integral dari fungsi tersebut adalah

Rumus Integral

Keterangan:

• k  : koefisien
• x   : variabel
• n   : pangkat/derajat dari variabel
• C   : konstanta

Misalkan terdapat suatu fungsi f(x). Jika kita akan menentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik f(x) maka dapat ditentukan dengan

dengan a dan b merupakan gari vertikal atau batas luasan daerah yang dihitung dari sumbu-x. Misalkan integra dari f(x) disimbolkan dengan F(x) atau jika dituliskan

maka

Keterangan:

• a, b  : batas atas dan batas bawah integral
• f(x)  : persamaan kurva
• F(x)  : luasan di bawah kurva f(x)

Sifat Integral

Beberapa sifat integral yaitu sebagai berikut.

Baca Juga Contoh Soal Integral

Integral Tak Tentu

Seperti yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, integral tak tentu merupakan suatu kebalikan dari turunan. Kalian dapat menyebutnya sebagai anti turunan atau antiderivative.

Integral tak tentu dari suatu fungsi menghasilkan fungsi baru yang belum memiliki nilai yang tentu karena masih terdapat variabel dalam fungsi baru tersebut. Bentuk umum integral tentu .

Rumus Integral Tak Tentu

Keterangan:

• f(x)  : persamaan kurva
• F(x)  : luasan di bawah kurva f(x)
• C     : konstanta

Contoh integral tak tentu:

Sudah paham belum? kalo belum, bisa nonton video rumus pintar tentang integral tak tentu di bawah ini ya.

Baca Juga Contoh Soal Integral Tak Tentu

Integral Tentu

Integral tentu didefinisikan sebagai jumlahan suatu daerah yang dibatasi kurva atau persamaan tertentu.

Berbeda dari integral tak tentu, integral tentu memiliki nilai tertentu karena batas yang ditentukan sudah jelas.

Secara umum, integral tentu didefinisikan sebagai

Rumus Integral Tentu

Keterangan:

• f(x)  : persamaan kurva
• a, b  : batas bawah dan batas atas integral
• F(b), F(a) : nilai integral untuk x = b dan x = a.

Kalo masih belum paham, yuk nonton video rumus pintar tentang integral tentu di bawah ini ya.

Baca Juga Contoh Soal Integral Tentu

Integral Pecahan

Fungsi pecahan dapat didefinisikan sebagai f(x)/g(x). Penyelesaian integral fungsi pecahan dapat dilakukan dengan memecah fungsi yang kompleks menjadi beberapa fungsi yang lebih sederhana. Perhatikan contoh berikut.

Penyelesaian integral tersebut yaitu sebagai berikut.

Fungsi pecahan tersebut dapat dipisah menjadi

(A + B) x + B – A = 1

Sehingga

B – A = 1 , dan A + B = 0

Didapatkan B = ½  dan A = – ½

Maka, dengan menggunakan sifat integral diperoleh

= ½ (- ln |x + 1| + ln |x – 1| + C₁)

= – ½ ln |x + 1| + ½ ln |x – 1| + C, dengan C = ½ C₁

Selanjutnya akan dibahas mengenai integral eksponensial.

Integral Eksponensial

Fungsi eksponensial biasanya dinotasikan dengan e^x. Beberapa konsep dasar yang harus dipelajari dalam integral eksponensial yaitu

Rumus Integral Exponensial

Keterangan:

• e^x, e^kx : fungsi eksponensial
• C     : konstanta

Selanjutnya akan dibahas mengenai integral substitusi.

Integral Substitusi

Beberapa permasalahan atau integral suatu fungsi dapat diselesaikan dengan integral substitusi jika terdapat perkalian fungsi dengan salah satu fungsi merupakan turunan fungsi yang lain.

Perhatikan contoh berikut.

Kita misalkan U = ½ x² + 3 maka dU/dx = x

Sehingga  x dx = dU

Persamaan integral substitusinya menjadi

= -2 cos U + C = -2 cos ( ½ x² + 3) + C

Kalo belum paham, bisa nonton video rumus pintar tentang integral substitusi ya.

Berikutnya akan dijelaskan mengenai integral parsial.

Integral Parsial

Integral parsial biasa digunakan untuk menyelesaikan integral dari perkalian dua fungsi. Secara umum, integral parsial didefinikan dengan

Rumus Integral Parsial

Keterangan:

U, V  : fungsi

dU, dV : turunan dari fungsi U dan turunan dari fungsi V

Gimana? Masih belum paham tentang integral parsial? Biar lebih mantap, nonton penjelesannya lebih detail di video ya.

Baca Juga Contoh Soal Integral Parsial

Tabel Integral

Berikut akan disajikan beberapa bentuk integral tak tentu yang lain.

Integral fungsi	Hasil integral
	-cos x + C
	sin x + C
	ln |sec x| + C
	arc sin x + C
	arc tan x + C
	arc sec x + C
	cosh x + C
	sinh x + C

Coba kerjakan soal di bawah ini.

Contoh Soal Integral

Selesaikan integral berikut.

Pembahasan

1.

2.

1/(x² – x + 6) = 1/((x – 3)(x + 2)) = A/(x – 3)  + B/(x + 2)

A(x + 2) + B (x – 3) = 1

(A + B) x + 2A – 3B = 1

Diperoleh A = 1/5  dan B = – 1/5

= 1/5 (ln |x – 3| + C₁ – ln |x + 2| – C₂) = 1/5 ln |x – 3| – 1/5 ln |x + 2| + C, dengan C = 1/5 C₁ – 1/5 C₂

3. , dapat diselesaikan dengan menggunakan integral parsial.

Misal:

u = x maka du = dx

dv = e^x dx maka v =

Sehingga

4.

Misal :

u = cos x maka du = – sin x, dengan menggunakan konsep integral substitusi diperoleh:

5.

1/3 x³ + 3x + C dengan batas atas 2 dan batas bawah 1, sehingga:

= (1/3 (2)³ + 3 (2)) – (1/3 (1)³ + 3 (1))

= (8/3) + 6 – 1/3 – 3

= 16/3

Apa yang sudah kalian pelajari mengenai integral.

Kesimpulan

• Integral secara sederhana dapat disebut sebagai invers (kebalikan) dari operasi turunan.
• Integral dibedakan menjadi dua, yaitu integral tak tentu dan integral tentu.
• Beberapa bentuk dan teknik penyelesaian integral yaitu
  • Integral pecahan
  • Integral eksponensial
  • Integral substitusi
  • Integral parsial
• Dengan menerapkan sifat-sifat integral akan lebih mudah dalam menyelesaikan integralnya.

Demikian yang dapat disampaikan dalam artikel ini, semoga bermanfaat.