Irisan Kerucut: Pengertian, Rumus, Ilustrasi, Soal

Artikel ini akan membahas mengenai irisan kerucut.

Apakah kalian sudah pernah mempelajari materi persamaan kuadrat?

Bagaimana bentuk umum dari persamaan kuadrat tersebut? Materi-materi tersebut menjadi salah satu syarat dalam mempelajari materi ini.

Selain mengenai persamaan kuadrat, kalian juga harus mengetahui seperti apakah bangun kerucut dan berbagai jenis irisan kerucut yang akan dijelaskan pada bagian di bawah ini.

Pengertian Irisan Kerucut

Irisan kerucut merupakan suatu lokus yang berbentuk kurva dua dimensi sebagai irisan dari bangun kerucut.

Selain itu, irisan kerucut juga dapat dijelaskan sebagai suatu kumpulan titik-titik yang memiliki perbandingan jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu.

Beberapa jenis irisan kerucut yaitu lingkaran, parabola, hiperbola, dan elips. Namun, pembahasan pada artikel irisan kerucut ini mencakup parabola, hiperbola, dan elips.

Berikut merupakan gambar irisan kerucut.

Berikut akan dijelaskan contoh penerapan irisan kerucut.

Baca juga Bangun Ruang.

Contoh Penerapan Irisan Kerucut

Beberapa objek atau benda yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari dapat memiliki bentuk seperti irisan kerucut di atas.

Beberapa objek atau benda tersebut seperti bentuk antena parabola yang memiliki bentuk menyerupai parabola, bentuk lintasan planet dalam tata surya menyerupai bentuk elips, dan contoh bentuk yang menyerupai irisan kerucut lainnya.

Berikut ini akan dijelaskan mengenai parabola.

Parabola

Apakah kalian sudah mengetahui mengenai parabola?

Parabola dapat didefinsikan sebagai kumpulan titik-titik yang memiliki jarak yang titik tersebut dengan titik fokus sama dengan jarak titik tersebut terhadap garis direktris.

Perhatikan gambar berikut.

Dengan menerapkan konsep jarak, diperoleh:

|PF| = √((x – p)² + (y – 0)²) = √((x – p)² + y²)

|PQ| = √((x + p)² + (y – y)²) = √(x – p)²

Karena |PF| = |PQ| maka diperoleh hubungan

√((x – p)² + y²) = √(x – p)²

(x – p)² + y²  = (x – p)² 

x² – 2px + p² + y² = x² + 2px + p²

y² = 4px

Diperoleh persamaan parabola yaitu dengan titik puncak O(0,0) dan titik focus F(p, 0) adalah y² = 4px.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai hiperbola.

Hiperbola

Hiperbola merupakan himpunan titik-titik yang selisih jarak terhadap  dua titik api (focus) adalah sama. Perhatikan gambar berikut.

Keterangan:

• Fokus (titik api) yaitu F1 (-c, 0) dan F2 (c, 0).
• Pusat hiperbola yaitu O (0, 0), sehingga OF₁ = OF₂.
• Sumbu simetri terdiri dari sumbu simetri utama yaitu sumbu X dan sumbu sekawan yaitu Y.
• Sumbu nyata yaitu AB = 2a, sedangkan sumbu imajiner yaitu CD = 2c.

Berikut ini akan dijelaskan mengenai elips.

Elips

Apakah kalian tahu apa itu elips?

Elips adalah himpunan titik-titik dengan jumlah jarak tiap titik terhadap dua titik focus (titik api) yang bukan elemen himpunan tersebut adalah tetap.

Pada gambar di bawah ini titik focus atau titik api adalah F1 dan F2. Jumlah jarak yang tetap yaitu 2a (a > 0) serta jarak F1 dan F2 adalah 2c.

Keterangan:

• Titik pusat elips yaitu O (0, 0).
• Titik focus elips: F1 (-c, 0) dan F2 (c, 0)
• Sumbu mayor  merupakan sumbu yang melalui focus F1 dan F2.
• Sumbu minor adalah sumbu yang melalui pusat dan tegak lurus dengan sumbu mayor.
• Sumbu utama (transvers axis) merupakan sumbu x.
• Sumbu sekawan (conjugate axis) merupakan garis sumbu F₁F₂.

Secara umum, persamaan elips dapat dituliskan sebagai berikut.

(x – p)²/a² + (y – q)²/b² = 1

Keterangan:

• (p, q) : koordinat titik pusat elips.
• a : ½ x Panjang sumbu mayor.
• b : ½ x Panjang sumbu minor.

Berikut akan dijelaskan mengenai rumus dalam irisan kerucut.

Baca juga Transformasi Geometri.

Rumus Irisan Kerucut

Dalam pembahasan ini akan dijelaskan rumus pada parabola, hiperbola, dan elips.

Rumus Parabola

Persamaan parabola dengan titik puncak O (0, 0).

Parabola yang terbuka ke kanan → y² = 4px

Parabola yang terbuka ke kiri → y² = -4px

Parabola yang terbuka ke atas → x² = 4py

Parabola yang terbuka ke bawah → x² = -4py

Rumus Hiperbola

Persamaan hiperbola dengan pusat O (0, 0).

Hiperbola terbuka ke atas dan ke bawah:

x²/a² – y²/b² = 1

Hiperbola terbuka ke kanan dan ke kiri:

y²/a² – x²/b² = 1

keterangan:

• a : ½ x Panjang sumbu nyata
• b : ½ x panjang sumbu imajiner

Rumus Elips

Persamaan elips dengan pusat O (0, 0):

Sumbu mayornya berhimpit dengan sumbu-x:

x²/a² + y²/b² = 1 dengan a > b.

Sumbu mayornya berhimpit dengan sumbu-y:

x²/b² + y²/a² = 1

Keterangan:

• a : ½ x Panjang sumbu mayor
• b : ½ x Panjang sumbu minor

Agar lebih memahami konsep irisan kerucut, coba kerjakan soal berikut ini.

Baca juga Bola.

Contoh Soal Irisan Kerucut

1. Diketahui suatu persamaan parabola yaitu y² = 8x. Tentukan titik focus dan titik puncak parabola tersebut.

2. Tentukan titik pusat, titik focus, dan titik puncak hiperbola dengan persamaan y² – 2x² = 8.

3. Diketahui suatu elips dengan pusat O (0, 0), salah satu fokusnya terdapat pada (0, 3), dan Panjang sumbu mayornya adalah 10. Tentukan persamaan elips tersebut.

Kesimpulan

• Irisan kerucut merupakan suatu lokus yang berbentuk kurva dua dimensi sebagai irisan dari bangun kerucut.
• Irisan kerucut terdiri dari lingkaran, parabola, hiperbola, dan elips.
• Parabola dapat didefinsikan sebagai kumpulan titik-titik yang memiliki jarak yang titik tersebut dengan titik fokus sama dengan jarak titik tersebut terhadap garis direktris.
• Hiperbola merupakan himpunan titik-titik yang selisih jarak terhadap  dua titik api (focus) adalah sama.
• Elips adalah himpunan titik-titik dengan jumlah jarak tiap titik terhadap dua titik focus (titik api) yang bukan elemen himpunan tersebut adalah tetap.

Demikian pembahasan mengenai irisan kerucut. Semoga bermanfaat. Baca juga Geometri.