Logaritma: Pengertian, Sifat, Rumus, Tabel, Contoh Soal

Berikut akan dijelaskan mengenai logaritma.

Kalian tentu sudah mempelajari mengenai eksponensial atau perpangkatan. Apa saja yang telah kalian pelajari dalam materi eksponensial atau perpangkatan?

Konsep materi perpangkatan atau eksponensial akan digunakan dalam mempelajari materi logaritma berikut.

Pengertian Logaritma

Secara sederhana, logaritma dapat disebut sebagai kebalikan dari perpangkatan atau eksponensial. Misalkan terdapat suatu perpangkatan atau eksponensial berbentuk ac = b, kebalikan dari perpangkatan tersebut dapat disajikan dalam bentuk logaritma alog b = c dengan syarat a ≠ 0 dan a > 1.  

Beberapa bentuk penulisan logaritma yaitu alog b = c atau loga b = c. Kedua bentuk penulisan logaritma tersebut adalah sama.

Berikut akan dijelaskan mengenai contoh penerapan logaritma dalam kehidupan sehari-hari.

Logaritma dalam Kehidupan Sehari-hari

Logaritma banyak dimanfaatkan dalam kehidupan sehari-hari. Dahulu sebelum adanya kalkulator, logaritma dimanfaatkan dalam perhitungan eksponensial.

Selain itu terdapat manfaat lain dari konsep logaritma. Konsep logaritma digunakan dalam perhitungan seismograf atau alat pengukur kekuatan gempa.

Satuan skala richter menggunakan konsep logaritma dalam perhitungannya. Dalam bidang astronomi juga digunakan dalam perhitungan untuk mengukur tingkat keterangan suatu bintang.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai rumus logaritma.

Rumus Logaritma

Pada bagian sebelumnya kalian telah mengetahui bentuk logaritma.

Bentuk logaritma dinyatakan dengan alog b = c.

Simbol a menyatakan bilangan pokok logaritma atau basis, b menyatakan range atau hasil dari logaritma, dan c merupakan domain logaritma.

Selanjutnya akan dibahas mengenai sifat logaritma.

Sifat Logaritma

Berikut merupakan beberapa sifat logaritma.

  • alog a = 1
  • alog 1 = 0
  • a^nlog bm = (m/n) x alog b
  • a^mlog bm = alog b
  • alog b = 1/blog a
  • alog b = (klog b)/(klog a)
  • a^(alog b) = b
  • alog b + alog c = alog (bc)
  • alog b – alog c = alog (b/c)
  • alog b . blog c = alog c
  • alog (b/c) = – alog (c/b)

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai persamaan logaritma. Baca juga Pythagoras.

Persamaan Logaritma

Bagian ini akan dibahas mengenai persamaan logaritma.

Misalkan terdapat alog f(x)  dan alog g(x).

Kedua bentuk tersebut dikatakan sama atau alog f(x) = alog g(x) jika f(x) = g(x) dengan syarat a ≠ 1, a > 0, f(x) > 0, dan g(x) > 0.

Selanjutnya akan dibahas mengenai pertidaksamaan logaritma.

Pertidaksamaan Logaritma

Bagian ini akan dibahas mengenai pertidaksamaan logaritma.

Misalkan terdapat alog f(x)  dan alog g(x). Dari kedua bentuk tersebut  alog f(x) > alog g(x) jika a > 0 maka f(x) > g(x). Jika 0 < a< 1 maka f(x) < g(x).

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai tabel logaritma.

Tabel Logaritma

Tabel logaritma digunakan untuk mempermudah dalam perhitungan nilai logaritma.

Dengan menerapkan sifat-sifat logaritma yang sudah dipelajari pada bagian sebelumnya, maka akan dengan musah menyelesaikan perrhitungan logaritma.

Cara menggunakan tabel logaritma yaitu dengan menentukan angka yang sesuai pada bagian kolom paling kiri dan  pada baris teratas.

Setelah kalian menemukan angka yang sesuai pada baris dan kolomnya, carilah nilai logaritmanya sesuai dengan baris dan kolom tersebut.

Untuk mengetahui kemampuanmu terkait logaritma, kerjakan latihan soal berikut. Baca juga Matriks.

Contoh Soal Logaritma

Pembahasan

Untuk mengerjakan soal di atas, kita harus memahami 3 sifat logaritma berikut ini:

Setelah memahami ketiga sifat tersebut, kita dapat menggunakan ketiga sifat tersebut untuk menyelesaikan soal logaritma di atas. Pertama, kita dapat menggunakan sifat pertama dan sifat kedua untuk menyederhanakan pembilang dan penyebut pada soal logaritma di atas.

Setelah mendapatkan bentuk seperti di atas, kita dapat menggunakan sifat ketiga untuk menyederhanakannya kembali menjadi bentuk seperti di bawah ini.

Kita dapat menggunakan menyederhanakan bentuk log 10000, menjadi log  104.

Hasil dari penyelesaian dari soal logaritma di atas adalah 1/4.

2. Tentukan hasil dari 3log81 – 3log8 + 3log72

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita harus menggunakan sifat logaritma  log a x b = log a  + log b  dan alog a = 1. Pertama, pecah soal logaritma tersebut menjadi lebih kecil seperti penyelesaian di bawah ini.

=3log 81 – 3log 8 + 3log 72

=3log 343log 8 + 3log (9×8)  

=3log 343log 8 + 3log 32 + 3log 8

=3log 34 + 3log 32

=4+2 = 6

Setelah melalui penyederhanaan menggunakan sifat logaritma, hasil dari soal logaritma di atas adalah 6.

3. Diketahui jika 2log 5 = a dan 5log 3 = b. Maka nilai 15log 40

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persoalan di atas, terdapat beberapa sifat logaritma yang perlu diperhatikan. Terdapat 4 sifat logaritma yang harus diterapkan dalam soal ini.

  • alog b = log b / log a
  • alog an = n
  • log a x b = log a + log b
  • alog b x blog c = alog c

Dalam mengerjakan soal tersebut, kita dapat menggunakan sifat logaritma keempat untuk mendapatkan hasil baru. Selanjutnya, menggunakan persamaan pertama, ketiga, dan kedua. Untuk lebih jelasnya, mari simak pembahasan soal logaritma berikut ini.

Penyelesaian soal logaritma di atas adalah

4. Jika 8log 5 = 2a, maka 5log 64 adalah

Pembahasan

Terdapat dua sifat logaritma yang bisa kamu gunakan untuk menyelesaikan soal tersebut yaitu alog bn = n alog b dan alog b = 1/ blog a . Langkah pertama yang dapat dilakukan adalah menggunakan sifat kedua logaritma di atas untuk menyelesaikan permasalahan ini seperti pembahasan di bawah ini.

Kita masukkan 2log 5 = 6a dengan menggunakan sifat kedua. Sehingga didapatkan persamaan logaritma seperti di bawah ini.

Sehingga hasil akhir dari 5log 64 adalah 5/6a

5. Diketahui 32+x=90, maka nilai 32x adalah

Pembahasan

32+x=90

32.3x=32.10, kita dapat mencoret 32 pada kedua ruas sehingga menjadi bentuk seperti ini.

3x = 10, bentuk ini dapat diubah menjadi bentuk logaritma 3log 10 = x

Karena yang hasil yang dicari adalah 32x, maka kita dapat mengalikan kedua ruas dengan 2 sehingga didapatkan 2x seperti bentuk persamaan logaritma di bawah.

2 3log 10 = 2x,

3log 102 = 2x

32x = 100

Maka hasil dari 32x adalah 100.

6. Sederhanakan  dan selesaikan bentuk logaritma di bawah ini.

  1. 2log 16 = . . .
  2. 3log 9 + 3log 27 = . . .
  3. 2log 3 . 3log 32 = . . .
  4. 5^(5log 13) = . . .
  5. 2log 3 . 3log 4 . 4log 5 . 5log 6 . 6log 7 . 7log 8 = . . .
Pembahasan
  1. 2log 16 = 2log 24 = 4 . 2log 2 = 4 x 1 = 4
  2. 3log 9 + 3log 27 = 3log 32 + 3log 33 = 2 x (3log 3) + 3 (3log 3)

= 2 x 1 + 3 x 1 = 2 + 3 = 5

  • 2log 3 . 3log 32 = 2log 32 = 2log 25 = 5 . 2log 3 . 2log 2 = 5 x 1 = 5
  • 5^(5log 13) = 13
  • 2log 3 . 3log 4 . 4log 5 . 5log 6 . 6log 7 . 7log 8

= 2log 8 = 2log 23 = 3 x 2log 2 = 3 x 1 = 3.

Kesimpulan

  • Logaritma merupakan kebalikan dari perpangkatan atau eksponensial.
  • Logaritma disimbolkan dengan alog b = c.
  • Beberapa sifat logaritma yaitu

alog a = 1

alog b + alog c = alog (bc)

alog b – alog c = alog (b/c)

alog b . blog c = alog c

  • Tabel logaritma digunakan untuk mempermudah perhitungan matematika. Dengan menerapkan sifat-sifat logaritma akan mempermudah dalam perhitungannya.

Demikian penjelasan mengenai logaritma. Semoga memberikan manfaat bagi kalian. Terima kasih. Baca juga Integral.

Kembali ke Materi Matematika